Kaos på atomär nivå

Kaosteori studerar dynamiska modeller som är oerhört känsliga för små fluktuationer. Minimala ändringar i systemets begynnelsetillstånd leder t.ex. normalt till helt olika lösningar. Strikt kaotisk tidsutveckling kräver att den underliggande matematiska modellen är så kallat icke-linjär. Eftersom kvantmekaniken är en linjär teori stöter vi på ett problem: Hur kan kaos uppstå i naturen om de fysikaliska lagarna grundar sig på en linjär modell? Forskare på Fysikum har föreslagit att använda ett Bose-Einstein kondensat av kalla atomer för att få en djupare förståelse av kaos på en mikroskopisk skala.

Kaotiska system
Edward Lorenz, en av pionjärerna inom kaosforskning, myntade begreppet ”fjärilseffekten”. Han drar iden om kaosteori till sin spets genom att säga att en fjärils vingslag i Sydamerika kan utlösa en orkan i Afrika. Exemplet, naturligtvis extremt, grundar sig i att meteorologiska modeller som används för att förutspå framtidens väder är kaotiska. Detta medför att det är oerhört svårt att förutsäga vädret flera dagar i förväg. Små ändringar i de data du matar in i ditt program kan ha drastiska följder på de simulerade resultaten. Givet ett begynnelsetillstånd, så ges lösningen av en trajektoria x(t)=(x1(t), x2(t),…, xN(t)), där de olika funktionerna xJ(t) beskriver hur systemet utvecklas för variablerna xJ i det så kallade fasrummet. Hur mycket två lösningar x(t) och y(t) skiljer sig från varandra kan uppskattas med avståndet mellan dem, dvs.

ekvation 1

Alt
Figur 1. En lösning till Lorenz-systemet. Lösningen rör sig på vad som kallas för en attraktor och till synes slumpmässigt ”hoppar” lösningen mellan höger och vänster sida. När dessa hopp sker är väldigt svårt att förutspå.
Antag att δ(t) är mycket litet vid begynnelsetidpunkten t=0. Det som då karakteriserar ett kaotiskt system är att avståndet växer exponentiellt för korta tider, δ(t)∝eλt, där λ>0 kallas för Lyapunov-exponenten. Detta betyder att redan efter väldigt korta tider så är lösningarna väldigt olika. Som ett exempel på ett klassiskt kaotiskt system visar vi i Figur 1 nedan en trajektoria för ”Lorenz-systemet” som ges av tre variabler som uppfyller ekvationen

Ekvatin 2

där σ,ρ och μ är konstanter. Figur 1 visar trajektorian i x2-x3 planet.

Kvantmekanik och kaos
Systemet av differentialekvationer som beskriver Lorentz-systemet är icke-linjärt. Detta syns i den tredje ekvationen som innehåller produkten x1(t)x2(t) – ett linjärt system beskrivs av ekvationer som inte består av produkter av variablerna. Ett nödvändigt (men inte tillräckligt) villkor för kaos är att systemet är icke-linjärt. Vi stöter här på ett problem, kvantmekaniken som beskriver dynamiken hos mikroskopiska system är linjär. Med andra ord, kaos borde därför inte existera. För att se detta tittar vi på fideliteten F som ger avståndet mellan två kvantmekaniska tillstånd (lösningar). En följd av kvantmekanikens linjäritet är att fideliteten är konstant. Med andra ord, två initiala närliggande tillstånd förblir nära varandra. Eftersom vi tror att det inte finns någon konceptuell ”gräns” mellan den mikro- och makroskopiska världen, dvs kvantmekanikens lagar borde gälla även på en makroskopisk skala, tycks det underligt hur kaotiska system överhuvudtaget kan finnas till. Trots detta så ser vi exempel på kaos dagligen i vår vardag. Ett sätt att förstå denna paradox är att införa en ny definition för kaos i kvantmekaniska system. Vi kan tänka oss ett tillstånd som tidsutvecklas med två nästan identiska ekvationer. Eftersom ekvationerna är olika kommer respektive tillstånd också vara olika, och man finner att för kaotiska kvantmekaniska system blir fideliteten F∝eλt i liknelse med klassiskt kaotiska system. Som ett exempel kan vi tänka oss ett experiment där man studerar dynamiken hos en gas av kalla molekyler som belyses med en laser. Vi vet att amplituden och fasen hos laserljuset visar små fluktuationer, och om systemet är kaotiskt så kan dessa parameterfluktuationer påverka systemets utveckling drastiskt. Det är därför oerhört svårt att förutspå hur systemet kommer att bete sig pga. de små fluktuationerna.

Ytterligare en aspekt som kan te sig motsägelsefull är det som benämns termalisering. För att förklara termalisering tänker vi oss ett slutet och isolerat rum. Om vi öppnar ett fönster kommer varm luft från rummet försvinna ut medan kall luft utifrån kommer in. Efter ett tag stänger vi fönstret och då kommer området närmast fönstret vara kallare än området längst från fönstret. Om vi väntar tillräckligt länge kommer denna temperaturvariation försvinna och det är samma temperatur på alla platser i rummet. Vi säger att luften är i termisk jämvikt, dvs. luften har termaliserats. Detta klassiska exempel kan förklaras med hjälp av entropi – systemet strävar efter att maximera entropin. Om vi istället har ett slutet kvantmekaniskt system så säger kvantmekanikens lagar att om tillståndet systemet befinner sig i är rent så förblir det rent. Enkelt förklarat, ett rent tillstånd är ett där de kvantmekaniska egenskaperna (koherensen) är bevarad. Ett termiskt tillstånd är motsatsen till ett rent tillstånd, ett så kallat blandat tillstånd. Som en följd borde inte slutna kvantmekaniska system kunna termaliseras, men ändå ser vi ofta en termalisering även hos dessa. Inte alla kvantmekaniska system termaliseras, men de vars klassiska motsvarighet är kaotisk brukar alltid visa termalisering. Så kaos måste spela en viktig roll även i termalisering.

Kvantmekaniska modeller vars klassiska motsvarigheter är kaotiska visar sig ha vissa universella egenskaper. Systemets spektrum, dess möjliga energier, har t.ex. en repellerande effekt som innebär att avstånden mellan närliggande energier varierar mycket. En följd av detta är att tidsutvecklingen hos ett tillstånd i ett kaotiskt system innehåller en stor mängd olika karakteristiska tidsskalor. Detta leder i sin tur till vad som kallas destruktiv interferens och möjligheten till ett till synes tidsoberoende tillstånd efter långa tider, dvs ett ekvilibrerat tillstånd. Termalisering kräver ekvilibrering, men inte alla ekvilibrerade tillstånd beskriver termaliserade tillstånd. För att förstå hur kvantmekanisk termalisering över huvud taget är möjlig måste vi först göra klart vad som faktiskt mäts i ett experiment. Om vi återgår till det klassiska exemplet med temperaturen i rummet så inser vi att en mätning betyder att vi registrerar temperaturen i en liten volym runt termometern. Mätningen sker alltså enbart på en liten del av det totala systemet. På samma sätt när vi gör kvantmekaniska mätningar sker mätningen vanligtvis enbart på ett delsystem av det totala systemet. Det finns inget inom kvantmekaniken som förbjuder att tillståndet för det mätta delsystemet är blandat. Om detta deltillstånd är termiskt så kommer våra mätningar antyda termalisering. Idag saknas full förståelse för vilka system som kommer att visa termalisering och vilken mekanism som ligger bakom denna effekt.

Slutna kvantmekaniska mångpartikelsystem

Alt
Figur 2: Exempel på kaotiskt system. Atomdensiteten efter en viss tid. Parametrarna är sådana att tidsutvecklingen är kaotisk, vilket visar sig i de små oregelbundna variationerna i tätheten. Den förstärkta densiteten i vissa områden är ett ”quantum scar”.
Under en väldigt lång tid var frågor som kvantmekanisk termalisering enbart av akademiskt intresse eftersom det inte var möjligt att isolera mikroskopiska system från deras omgivningar. I och med utvecklingen under 80- och 90-talet av laserkylning och möjligheten att fånga och manipulera atomer så kunde välisolerade mångpartikelsystem realiseras som dessutom var genuint kvantmekaniska till sin natur. Det senaste årtiondet har flera experiment med ”ultrakalla” atomgaser utforskat kvantkaos och mer nyligen även frågor inom termalisering.

Forskare vid Fysikum föreslår genom avancerade teoretiska simuleringsmodeller att en fångad gas av kalla atomer som bildar ett Bose-Einstein kondensat och som belyses med olika lasrar är en högkvalificerad kandidat för att studera kvantkaos och termalisering. Lämpligheten ligger i den höga kontrollen av de olika systemparametrarna och de väl utvecklade experimentella detektionsmetoderna.

Genom att ändra intensiteten hos lasrarna kan man gå från ett parameterområde utan kaos till ett med kaos. Atomdensiteten i gasen är enkel att mäta genom att ta bort fällan och låta atomerna falla fritt och träffa en detektor. Eftersom atomgasen normalt innehåller flera tusen atomer så behöver detektoreffektiviteten inte vara så hög för att få en skarp bild av tätheten. Fällan kan stängas av när som helst så man kan studera i detalj hur systemet utvecklas i tiden och därmed försöka kartlägga mekanismen bakom t.ex. termalisering.

Alt
Figur 3: Exempel på icke-kaotiskt system. Samma som i Figur 2 ovan men nu i ett parameterområde med reguljär icke-kaotisk tidsutveckling. Skillnaden är markant; nu ser vi tydliga regelbundna interferensmönster.

I figurerna nedan visas två exempel på hur atomdensiteten kan se ut efter en viss tid. Dessa figurer fås från datorsimuleringar som löser de kvantmekaniska ekvationerna. I ena exemplet är tidsutvecklingen kaotisk och i det andra är den reguljär. För den reguljära utvecklingen återfås fina interferensmönster medan den kaotiska utvecklingen leder som synes till en mer eller mindre kaotisk struktur i densiteten. I det kaotiska fallet så är densiteten inte jämnt fördelad. Detta är ett exempel på något som kallas quantum scars. Dessa ”ärr” kan förstås från de underliggande klassiska modellerna där de beskriver periodiska lösningar. Eftersom systemet är kaotiskt betyder det att så fort du avviker något från en sådan lösning försvinner du snabbt bort från den och man säger därför att lösningen inte är stabil. Runt en sådan klassiskt periodisk lösning tenderar den kvantmekaniska lösningen att klumpa ihop sig, vilket är det som visas i figuren. Detta kan tyckas konstigt eftersom det är som om det kvantmekaniska systemet känner till sin klassiska kusin.

Nyligen har system av den här typen, dvs fångade och manipulerade Bose-Einstein kondensat, realiserats av Ian Spielman med medarbetare på ”National Institute of Standards and Technology” (http://www.nist.gov/pml/div684/grp04/index.cfm). Hittills har deras experiment fokuserat på egenskaper hos systemets grundtillstånd. I kommande experiment kommer även icke-jämviktssystem studeras och det blir då möjligt att testa Fysikumforskarnas resultat. Förhoppningen är att få en klar bild av hur ekvilibrering till ett termiskt tillstånd sker. Idag vet man t.ex. inte hur lång tid ett kvantmekaniskt mångpartikelsystem behöver för att termaliseras. Enligt resultaten från vår studie borde denna tid ges av något som kallas Ehrenfesttiden, men detta måste också verifieras experimentellt. Det är inte heller klart om denna tid är universell och även gäller för andra system. Våra teoretiska resultat inspirerar till nya experiment som kan bevisa eller motbevisa de nya resultaten och öppnar dessutom för framtida forskning inom ett hett område av fundamentalt intresse.

Publikationer
Den ursprungliga artikeln är publicerad i tidsskriften Physical Review: http://pra.aps.org/abstract/PRA/v87/i1/e013624
En fri version av artikeln som inte kräver prenumeration finns på ”arXivet”: http://arxiv.org/abs/1208.2923
En mer populärvetenskaplig presentation av artikeln finns på tidsskriftens ”Viewpoint”: http://physics.aps.org/articles/v6/9

– Dr. Jonas Larson (jolarson@fysik.su.se)

Share this post
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *