Vid det här laget bör du vara bekant med med flera viktiga kvantmekaniska fenomen som t.ex. förekomsten av skarpa spektrallinjer och den fotoelektriska effekten. Du känner också till elementa av den kvantmekaniska beskrivningen av enkla system - du vet vad som menas med en vågfunktion och en Hamiltonoperator, och du vet hur man kvantmekaniskt beskriver ett mycket enkelt system nämligen en partikel som rör sig längs en linje under inverkan av en potential. Även om sådana endimensionella system idag faktisk kan realiseras i laboratoriet utspelar sig naturligtvis den mesta fysiken i alla våra tre dimensioner. För att förstå atomer, molekyler och kristaller måste man både kunna hantera problem i tre dimensioner samt förstå hur man ger en kvanatmekanisk beskrivning av system med flera partiklar, och partiklar med "spinn".
Generaliseringen från en till tre dimensioner är i princip rakt på sak, men bjuder i praktiken på en del svårigheter. Ett av de viktigaste problemen, och ett som vi skall behandla i detalj, är rörelse i en centralpotential. Förståelsen av detta problem utgör grunden för all atomfysik, där atomkärnan ger upphov till en attraktiv Coloumb-potential som attraherar elektronerna. I den klassiska fysiken är det motsvarande fallet Keplerproblemet, som beskriver t.ex. vårt solsystem. Planeterna rör sig i slutna banor som karaktäriseras av energi, E, och rörelsemängdsmoment, L. Rörelsen sker i ett banplan som är vinkelrätt mot vektorn L. I den kvanmekaniska bilden ersätts energin E av Hamiltonoperatorn, H, och L övergår också till en operator som har egenskapen att dess komponenter inte kommuterar med varandra. Man kan därför inte samtidigt bestämma värdet på L vektorns alla komponenter vilket gör att det inte finns något väldefinierat banplan. Detta kan man ju inte heller förväntar sig p.g.a. Heisenbergs osäkerhetsrelation. I kursen kommer du att lära dig hur man behandlar rörelsemängdsmoment kvantmekaniskt och hur man beskriver rörelse i en centralpotential.
Generaliseringen till mer än en partikel är till synes enkel, men innebär ett mycket större konceptuellt språng än den från en till tre dimensioner. Orsaken till detta är ket kvantmekaniska begreppet "identiska partiklar". I den klassiska fysiken kan två partiklar aldrig vara exakt identiska, eftersom man alltid kan tänka sig att man "märker" dem på olika sätt. I kvantmekaniken är detta inte möjligt - två elektroner är alltid exakt identiska. I kursen kommer du att lära dig hur man i kvantmekaniken behandlar system av identiska partiklar.
Alla de partiklar som bygger upp materien runt omkring oss - elektronen, protonen och neutronen - har alla vad man kallar ett kvantmekaniskt spinn. Spinnet är ett rörelsemängdsmoment, så den närmaste klassiska analogin den av små kulor som snurrar runt sin egen axel; därav namnet. Det är dock ett mycket märkligt rörelsemängdsmoment som bara kan anta två olika värden. Det är ett exemperl på ett kvantmekaniskt system där tillståndsvektorerena bara har två komponenter, och vi kommer i kursen att i detalj förklar hur man beskriver detta mycket viktiga fenomen.
I kvantmekaniken, precis som i den klassiska fysiken, är det bara ett mycket litet antal enkla problem som kan lösas exakt med analytiska metoder. I tre dimensioner är det endast den harmonska oscillatorn, den stegvis konstanta potentialen och Coulomb-potentialen. Förutom att dessa problem är mycket viktiga i sig, är de också startpunkten för lösningen av mer komplicerade problem där potentialen kan behandlas som en summa av någon av de analytiskt lösbara exemplen och en liten störning. Med hjälp av s.k störningsteori, kan man beräkna vågfunktioner och energiegenvärden som en serieutvekling i en liten parameter som beskriver den lilla störningen. Ett typiskt exempel är den s.k. Zeeman effekten, dvs. att atomernas spektrallinjer splittras upp i flera i närvaron av ett magnetiskt fält. Den magnetiska kraften är svag och splittringen kan beräknas mycket precist med störningsteori. I kursen kommer du att lära dig både de generlla metoderna för att göra stärningsutveklingar och hur man konkret tillämpar dessa på atomära system.
Studieråd
För avsnittet om rörelse i centralpotential är det bra om du repeterar motsvarande moment i mekanik kursen. Vi kommer också att använda oss av en hel del vektor analys. Speciellt är det viktigt komma ihåg och kunna hantera begreppen gradient och rotation, samt att vara förtrogen med det sfäriska koordinatsystemet. Repetera gärna det du lärt dig i matematikkurserna!
Det är viktigt att komma igång så snabbt som möjligt med problemlösningen - börja från dag 1 med att försöka lösa så många problem som möjligt både i textboken och i exempelsamlingen. För att hjälpa er med problemlösningen kommer du att:
Lösningrna till de problem som räknas kommer att läggas på på hemsidan efter räkneövningen.